ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คืออะไร ?

ตรีโกณมิติ (Trigonometry) เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Circular Function คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและ

ปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุด

บนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด

ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กัน ดังนี้

ฟังก์ชัน	ตัวย่อ
ไซน์ (Sine)	sin
โคไซน์ (Cosine)	cos
แทนเจนต์ (Tangent)	tan (หรือ tg)
โคแทนเจนต์ (Cotangent)	cot (หรือ ctg หรือ ctn)
ซีแคนต์ (Secant)	sec
โคซีแคนต์ (Cosecant)	csc (หรือ cosec)

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle)

เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า :

ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1,0)

จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ เราสามรารถหาจุด (x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น

ถ้า |θ| > 2π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2π หน่วย

เมื่อ (x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น

y = sinθ (อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา)

x = cosθ (อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา)

ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1

นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1

และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นดังตารางนี้

จากตาราง ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

sin(-θ) = -sinθ

cos(-θ) = cosθ

 

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้

ฟังก์ชันแทนเจนต์      (Tangent function)     เขียนแทนด้วย tan       (อ่านว่า แทน)

ฟังก์ชันเซแคนต์        (Secant function)       เขียนแทนด้วย sec      (อ่านว่า เซก)

ฟังก์ชันโคเซแคนต์    (Cosecant function)     เขียนแทนด้วย cosec  (อ่านว่า โคเซก)

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์  (Cotangent function)   เขียนแทนด้วย cot       (อ่านว่า คอต)

 

　ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2πr หน่วยจะมีขนาด 2π เรเดียน

และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน

จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมมรายาว a หน่วย จะได้

θ = a/r

360 องศา เท่ากับ 2π เรเดียน

180 องศา เท่ากับ π เรเดียน

sin = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos = ด้านประชิด / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
tan = ด้านตรงข้าม / ด้านประชิด

 

การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ทำการหาค่ามุมที่ต้องการทางด้านซ้ายมือของตาราง แล้ว นำมาเทียบกับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวามือของตาราง เป็นอันเสร็จสิ้น

 

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic Function)

กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็นช่วงย่อย (Subinterval) โดยที่ความยาวแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน

และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ (Period)

จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่า

- คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากับ 2π

- คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากับ 2π

- คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เท่ากับ π

สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

เราจะเรียกว่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ว่า แอมพลิจูด (Amplitude)

- ฟังก์ชัน y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจูดเป็น 1 เท่ากัน