ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
(Exponential function)
ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร
นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน
f={(x,y)∈R×R∣y=ax,a>0,a≠1}
|
จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1 ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น
y=10x
y=(15)x
y=(sin30∘)x
y=(2√)x
ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลครับ ซึ่งมีมากมายครับ นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นครับ
ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน y=3x
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้
ถ้า x=−2 จะได้
จาก y=3x แทน x ด้วย -2 ได้ว่า
y=3−2
y=132
y=19
นั่นคือ ถ้า x=−2 ได้ว่า y=19
ถ้า x=−1 จะได้
จาก y=3x แทน x ด้วย -1 ได้ว่า
y=3−1
y=131
y=13
นั่นคือ ถ้า x=−1 ได้ว่า y=13
ถ้า x=0 จะได้
จาก y=3x แทน x ด้วย 0 ได้ว่า
y=30
y=1
นั่นคือ ถ้า x=0 ได้ว่า y=1
ถ้า x=1 จะได้
จาก y=3x แทน x ด้วย 1 ได้ว่า
y=31
y=3
นั่นคือ ถ้า x=1 ได้ว่า y=3
ถ้า x=2 จะได้
จาก y=3x แทน x ด้วย 2 ได้ว่า
y=32
y=9
นั่นคือ ถ้า x=2 ได้ว่า y=9
นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมาครับ
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
y | 19 | 13 | 1 | 3 | 9 |
จากตารางจะได้คู่อันดับ
(−2,19),(−1,13),(0,1),(1,3),(2,9)
นำคู่อันดับไปพลอตกราฟครับ ก็จะได้กราฟดังนี้ครับ
เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงครับ
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน
y=(14)x
การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้
ถ้าให้ x=−2 จะได้ค่า y คือ
y=(14)−2
y=(1)−2(4)−2=42=16
นั้นคือ ถ้าให้ x=−2 ได้ y=16
ถ้าให้ x=−1 จะได้ค่า y คือ
y=(14)−1
y=(1)−1(4)−1=4
นั่นคือ ถ้าให้ x=−1 จะได้ y=4
ถ้าให้ x=0 จะได้ค่า y คือ
y=(14)0=1 จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
นั้นคือ ถ้าให้ x=0 จะได้ y=1
ถ้าให้ x=1 จะได้ค่า y คือ
y=(14)1=14
นั่นคือ ถ้าให้ x=1 จะได้ y=14
ถ้าให้ x=2 จะได้ค่า y คือ
y=(14)2=116
นั้นคือ ถ้าให้ x=2 จะได้ y=116
จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตารางคับ จะได้
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
y | 16 | 4 | 1 | 14 | 116 |
นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างครับ
กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคับ แต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆคับ
จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า
ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
y | 19 | 13 | 1 | 3 | 9 |
ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น
เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
y | 16 | 4 | 1 | 14 | 116 |
ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ y=ax ถ้า ค่า a>1 ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น
y=5x ,a=5 ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
y=42x=(42)x=16x ,a=16 ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มคับ
แต่ถ้า ค่าของ 0<a<1 ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดคับ ยกตัวอย่างเช่น
y=(12)x ,a=12 ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลดคับ
y=3−x=(13)x ,a=13 ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลด