ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คืออะไร ?

ตรีโกณมิติ (Trigonometry) เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Circular Function คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและ

ปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุด

บนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด

ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กัน ดังนี้

ฟังก์ชัน	ตัวย่อ
ไซน์ (Sine)	sin
โคไซน์ (Cosine)	cos
แทนเจนต์ (Tangent)	tan (หรือ tg)
โคแทนเจนต์ (Cotangent)	cot (หรือ ctg หรือ ctn)
ซีแคนต์ (Secant)	sec
โคซีแคนต์ (Cosecant)	csc (หรือ cosec)

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle)

เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า :

ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1,0)

จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ เราสามรารถหาจุด (x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น

ถ้า |θ| > 2π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2π หน่วย

เมื่อ (x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น

y = sinθ (อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา)

x = cosθ (อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา)

ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1

นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1

และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นดังตารางนี้

จากตาราง ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

sin(-θ) = -sinθ

cos(-θ) = cosθ

 

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้

ฟังก์ชันแทนเจนต์      (Tangent function)     เขียนแทนด้วย tan       (อ่านว่า แทน)

ฟังก์ชันเซแคนต์        (Secant function)       เขียนแทนด้วย sec      (อ่านว่า เซก)

ฟังก์ชันโคเซแคนต์    (Cosecant function)     เขียนแทนด้วย cosec  (อ่านว่า โคเซก)

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์  (Cotangent function)   เขียนแทนด้วย cot       (อ่านว่า คอต)

 

　ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2πr หน่วยจะมีขนาด 2π เรเดียน

และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน

จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมมรายาว a หน่วย จะได้

θ = a/r

360 องศา เท่ากับ 2π เรเดียน

180 องศา เท่ากับ π เรเดียน

sin = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos = ด้านประชิด / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
tan = ด้านตรงข้าม / ด้านประชิด

 

การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ทำการหาค่ามุมที่ต้องการทางด้านซ้ายมือของตาราง แล้ว นำมาเทียบกับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวามือของตาราง เป็นอันเสร็จสิ้น

 

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic Function)

กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็นช่วงย่อย (Subinterval) โดยที่ความยาวแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน

และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ (Period)

จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่า

- คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากับ 2π

- คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากับ 2π

- คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เท่ากับ π

สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

เราจะเรียกว่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ว่า แอมพลิจูด (Amplitude)

- ฟังก์ชัน y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจูดเป็น 1 เท่ากัน

ฟังก์ชั่นลอการิทึม ม.5

การเห็นภาพรวมอย่างชัดเจน จะทำให้น้องทำความเข้าใจและจำได้อย่างเป็นระบบครับ

 

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล 

(Exponential function)

ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร

นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน f={(x,y)∈R×R∣y=ax,a>0,a≠1}$f=\{(x,y)\in R\times R\mid y=a^x,a>0,a\ne 1\}$

จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1  ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น

y=10x$y={10}^x$

y=(15)x$y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$

y=(sin30∘)x$y=(\sin {30}^{\circ }{)}^x$

y=(2√)x$y=(\sqrt{2}{)}^x$

ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลครับ ซึ่งมีมากมายครับ นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นครับ

ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน y=3x$y=3^x$

การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้

ถ้า x=−2$x=-2$ จะได้

จาก y=3x$y=3^x$ แทน x ด้วย -2 ได้ว่า

y=3−2$y=3^{-2}$

y=132$y=\frac{1}{3^2}$

y=19$y=\frac{1}{9}$

นั่นคือ ถ้า x=−2$x=-2$ ได้ว่า y=19$y=\frac{1}{9}$

ถ้า x=−1$x=-1$ จะได้

จาก  y=3x$y=3^x$ แทน x ด้วย -1 ได้ว่า

y=3−1$y=3^{-1}$

y=131$y=\frac{1}{3^1}$

y=13$y=\frac{1}{3}$

นั่นคือ ถ้า x=−1$x=-1$ ได้ว่า y=13$y=\frac{1}{3}$

ถ้า x=0$x=0$ จะได้

จาก  y=3x$y=3^x$ แทน x ด้วย 0 ได้ว่า

y=30$y=3^0$

y=1$y=1$

นั่นคือ ถ้า x=0$x=0$ ได้ว่า y=1$y=1$

ถ้า x=1$x=1$ จะได้

จาก  y=3x$y=3^x$ แทน x ด้วย 1 ได้ว่า

y=31$y=3^1$

y=3$y=3$

นั่นคือ ถ้า x=1$x=1$ ได้ว่า y=3$y=3$

ถ้า x=2$x=2$ จะได้

จาก  y=3x$y=3^x$ แทน x ด้วย 2 ได้ว่า

y=32$y=3^2$

y=9$y=9$

นั่นคือ ถ้า x=2$x=2$ ได้ว่า y=9$y=9$

นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมาครับ

x$x$	−2$-2$	−1$-1$	0$0$	1$1$	2$2$
y$y$	19$\frac{1}{9}$	13$\frac{1}{3}$	1$1$	3$3$	9$9$

จากตารางจะได้คู่อันดับ

(−2,19),(−1,13),(0,1),(1,3),(2,9)$(-2,\frac{1}{9}),(-1,\frac{1}{3}),(0,1),(1,3),(2,9)$

นำคู่อันดับไปพลอตกราฟครับ ก็จะได้กราฟดังนี้ครับ

เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงครับ

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน 

y=(14)x$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$

การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้

ถ้าให้ x=−2$x=-2$    จะได้ค่า y คือ

y=(14)−2$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}$

y=(1)−2(4)−2=42=16$y=\frac{(1{)}^{-2}}{(4{)}^{-2}}=4^2=16$

นั้นคือ ถ้าให้ x=−2$x=-2$ ได้ y=16$y=16$

ถ้าให้ x=−1$x=-1$ จะได้ค่า y คือ

y=(14)−1$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}$

y=(1)−1(4)−1=4$y=\frac{(1{)}^{-1}}{(4{)}^{-1}}=4$

นั่นคือ ถ้าให้ x=−1$x=-1$ จะได้ y=4$y=4$

ถ้าให้ x=0$x=0$ จะได้ค่า y คือ

y=(14)0=1$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^0=1$  จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1

นั้นคือ ถ้าให้ x=0$x=0$ จะได้ y=1$y=1$

ถ้าให้ x=1$x=1$ จะได้ค่า y คือ

y=(14)1=14$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^1=\frac{1}{4}$

นั่นคือ ถ้าให้ x=1$x=1$ จะได้ y=14$y=\frac{1}{4}$

ถ้าให้ x=2$x=2$ จะได้ค่า y คือ

y=(14)2=116$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$

นั้นคือ ถ้าให้ x=2$x=2$ จะได้ y=116$y=\frac{1}{16}$

จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตารางคับ จะได้

x$x$	−2$-2$	−1$-1$	0$0$	1$1$	2$2$
y$y$	16$16$	4$4$	1$1$	14$\frac{1}{4}$	116$\frac{1}{16}$

นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างครับ

กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคับ แต่จะเข้าใกล้แกน x  เรื่อยๆคับ

จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y    เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"

x$x$	−2$-2$	−1$-1$	0$0$	1$1$	2$2$
y$y$	19$\frac{1}{9}$	13$\frac{1}{3}$	1$1$	3$3$	9$9$

ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y  เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น

เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"

x$x$	−2$-2$	−1$-1$	0$0$	1$1$	2$2$
y$y$	16$16$	4$4$	1$1$	14$\frac{1}{4}$	116$\frac{1}{16}$

ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ y=ax$y=a^x$ ถ้า ค่า a>1$a>1$ ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น

y=5x$y=5^x$  ,a=5$,a=5$ ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

y=42x=(42)x=16x$y=4^{2x}=(4^2{)}^x={16}^x$ ,a=16$,a=16$ ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มคับ

แต่ถ้า ค่าของ 0<a<1$0<a<1$  ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดคับ  ยกตัวอย่างเช่น

y=(12)x$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ,a=12$,a=\frac{1}{2}$ ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลดคับ

y=3−x=(13)x$y=3^{-x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ ,a=13$,a=\frac{1}{3}$ ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลด